Думающ о DR как новая стабилизированная homotopy категория, где r коммутативная S-алгебра, мы можем осуществить действие ∈ Rn элемента x на R-модуле m как карта R-модулей x: −→ M. ΣnM. Мы определяем M/xM для того чтобы быть cofiber x, и мы определяем локализацию m [x −1] для того чтобы быть телескопом countable повторяем desuspensions x, старт с −nM −→ Σ m. итерированием, мы можем построить коэффициенты последовательностями элементов и локализаций на последовательностях элементов. Мы определяем спектры R-кольца, ассоциативные спектры R-кольца, и коммутативные спектры R-кольца в homotopical чувстве, с −→ ∧R a продуктов a a определило через карты в производной категории DR, и оно поворачивает вне для того чтобы быть довольно просто изучить когда коэффициенты и локализации спектров R-кольца снова спектры R-кольца

Мы построим локализации Bousfield R-модулей на, который дали R-модуле E. В принципе, это производное понятие категории, но мы получим конструкции точного пункт-набора ровные. Используя конструкции различного пункт-набора ровные, мы докажем что локализации Bousfield R-алгебр можно построить для того чтобы быть R-алгебрами и локализации Bousfield коммутативных R-модулей можно построить для того чтобы быть коммутативными R-алгебрами. В частности, RE локализацией r на e коммутативная R-алгебра, и мы увидим что категория RE-модулей играет внутреннеприсуще центральную роль в исследовании локализаций Bousfield.

Как очень специальный случай, эта теория будет подразумевать что спектры KO и KU которые представляют реальную и сложную периодическую K-теорию можно построить как коммутативные алгебры над ko и ku S-алгебр которые представляют реальную и сложную соединительную K-теорию. Поэтому KO и KU коммутативные S-алгебры, как длиной загадал в более предыдущем контексте спектров кольца E∞. Опять, оно далеко проще доказать более острые заявления ko и ku-алгебры чем построить структуры S-алгебры сразу.